Ôn tập Toán thi THPT quốc gia: Chủ đề bất đẳng thức, phương trình...

Tiến sĩ Nguyễn Sơn Hà - Giáo viên Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - hướng dẫn ôn tập môn Toán các chủ đề: Khối đa diện, khối tròn xoay; Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số; Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng; Bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.

Chủ đề: Khối đa diện và khối tròn xoay

Học sinh cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản: Hai đường thẳng song song, góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, hình chóp đều, hình tứ diện đều, hình hộp, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ tam giác đều;

Hình lăng trụ tứ giác đều, hình lập phương, hình nón, hình trụ, mặt cầu, công thức tính thể tích của khối chóp, công thức tính thể tích của khối lăng trụ, công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ, công thức tính thể tích của khối nón, công thức tính thể tích của khối trụ, công thức tính diện tích của mặt cầu, công thức tính thể tích của khối cầu, cách xác định tâm của mặt cầu đi qua 4 điểm.

Học sinh phải nhớ những kiến thức liên quan đến các đại lượng hình học ở cấp THCS và ở lớp 10: Định lí Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn và hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí côsin trong tam giác, công thức trung tuyến, định lí sin trong tam giác, các công thức tính diện tích của tam giác, diện tích của hình chữ nhật, chu vi và diện tích của hình tròn.

Các tình huống thường gặp nhằm đánh giá mức độ thông hiểu và vận dụng về khối đa diện: Tính thể tích của khối chóp hoặc khối lăng trụ, chứng minh các quan hệ song song giữa các đối tượng đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh các quan hệ vuông góc giữa các đối tượng đường thẳng và mặt phẳng, tính các loại góc và khoảng cách trong không gian.

Những hình đa diện thường gặp là: Hình chóp đều có đường cao đi qua tâm của mặt đáy; hình lăng trụ đứng có đường cao bằng cạnh bên; hình chóp hoặc hình lăng trụ có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy, khi đó chiều cao của hình chóp bằng độ dài của cạnh bên; hình chiếu vuông góc của các cạnh bên còn lại trên mặt đáy là đoạn thẳng có một đầu mút là chân đường cao, từ đó có thể xác định góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng chứa đáy của đa diện;

Hình chóp hoặc hình lăng trụ có một mặt bên vuông góc với mặt đáy, khi đó đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ là đường cao của mặt bên và hình chiếu của mọi đường thẳng thuộc mặt bên trên đáy trùng với giao tuyến, từ đó có thể xác định góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng chứa đáy của đa diện.

Nếu giả thiết của bài toán có hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì thường kẻ thêm đường phụ là đường thẳng trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến, khi đó đường này sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại. Nếu giả thiết có hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ ba thì thường dùng đến giao tuyến của hai mặt phẳng vì giao tuyến sẽ vuông góc với mặt thứ ba.

Các tình huống thường gặp nhằm đánh giá mức độ thông hiểu và vận dụng về khối tròn xoay: xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hoặc lăng trụ. Có thể phải xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy đa diện, từ đó xác định trục của đường tròn ngoại tiếp. Nếu các đỉnh đa diện cùng nhìn hai điểm cố định dưới một góc vuông, khi đó tâm mặt cầu là trung điểm đoạn nối hai điểm cố định.

Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn và hình chiếu của đỉnh trên đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy, trục của đường tròn ngoại tiếp đáy chứa đường cao hình chóp. Hình chóp đều có tâm mặt cầu ngoại tiếp thuộc đường cao.

Hình chóp có đáy là tam giác vuông có trục của đường tròn ngoại tiếp đáy là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh huyền và vuông góc với đáy. Với dạng toán hình trụ, ta thường kẻ thêm đường sinh, đường sinh của hình trụ vuông góc với hai đáy và song song với đường thẳng nối tâm của hai đáy.

Một số lỗi thường gặp: nhầm lẫn các khái niệm hình chóp tam giác đều và tứ diện đều, hình hộp và hình hộp đứng, hình hộp đứng và hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ tứ giác đều và hình lập phương.

Chủ đề: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số

Các tình huống thường gặp nhằm đánh giá khả năng vận dụng cao ở chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số: Giải phương trình, bất phương trình bằng cách kết hợp nhiều phương pháp khác nhau:

Biến đổi tương đương (chuyển vế đổi dấu, cộng vào hai vế với một đại lượng, nhân hoặc chia hai vế với một đại lượng khác 0, bình phương hai vế kèm theo điều kiện, biến đổi tương đương về dạng tích); đặt một ẩn phụ; đặt hai ẩn phụ; đánh giá bằng bất đẳng thức đại số; đánh giá bằng bất đẳng thức hình học; đánh giá bằng cách sử dụng chiều biến thiên của hàm số; lượng giác hóa.

Học sinh cần phải chú ý có những phương trình mà nhiều máy tính hiện nay không thể hiện được chính xác nghiệm, cần phải sử dụng biểu thức khác để thể hiện nghiệm: sử dụng căn bậc n, sử dụng lũy thừa với số mũ thực, sử dụng lôgarit, sử dụng biểu thức lượng giác…

Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Các dạng bài tập của chủ đề này thường đánh giá mức độ vận dụng cao, yêu cầu học sinh khai thác các kết quả đã có về hình học ở cấp THCS và lớp 10, sau đó mới dùng tọa độ thể hiện các kết quả đó.

Học sinh cần ôn lại nhiều nội dung: tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng, điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng, điểm nằm trên tia phân giác của một góc, ba đường phân giác trong một tam giác, ba đường cao trong một tam giác;

Ba đường trung trực trong một tam giác, ba đường trung tuyến trong một tam giác, trọng tâm của tam giác, trực tâm của tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác, các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, định lí Ta-let và tính chất của đường phân giác trong tam giác, các trường hợp đồng dạng của hai tam giác.

Học sinh cần vận dụng được các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, đường elip (tổng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường elip đến hai tiêu điểm là một đại lượng không đổi);

Vận dụng được các tính chất của đường tròn, tính chất của đường kính vuông góc với dây cung, liên hệ về độ dài của hai dây cung và khoảng cách từ tâm của đường tròn đến hai dây cung, tiếp tuyến của đường tròn, góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, tứ giác nội tiếp đường tròn, đẳng thức tích độ dài của các đoạn thẳng có được khi hai đường thẳng chứa hai dây cung của một đường tròn cắt nhau, đẳng thức tích độ dài của các đoạn thẳng có được khi tiếp tuyến của đường tròn và đường thẳng chứa dây cung một một đường tròn cắt nhau.

Học sinh cần phải nhớ kết quả của nhiều bài toán hình học THCS để vận dụng giải các bài toán về tọa độ. Học sinh chú ý cả những tình huống bất thường: khai thác giả thiết ban đầu về tọa độ để suy ra hình vẽ đặc biệt, sau đó sử dụng các kết quả ở cấp THCS đối với hình vẽ đặc biệt và cuối cùng mới thể hiện các tính chất hình vẽ đặc biệt thông qua tọa độ.

Chủ đề: Bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là nội dung có thể được sử dụng để kiểm tra khả năng vận dụng cao của học sinh. Chủ đề này thường rất khó và không có quy trình giải cố định, học sinh phải có tư duy rất tốt và tự học nhiều thì mới có cơ hội làm được:

Phải nắm vững nhiều bất đẳng thức quan trọng, nắm vững nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, nắm vững nhiều kết quả của các bài toán mà có thể khai thác được trong việc chứng minh bất đẳng thức,...

Ngoài những chủ đề nói trên, học sinh cần quan tâm thêm những bài toán tổng hợp nhiều nội dung toán học, những bài toán liên quan đến thực tiễn, những bài toán có nội dung tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực người học.

Học sinh phải hiểu kĩ về các khái niệm toán học, biết vận dụng các khái niệm toán học để giải quyết những vấn đề thực tiễn hoặc những vấn đề liên quan đến môn học khác. Học sinh phải tự đọc nhiều tài liệu giới thiệu con đường hình thành các khái niệm toán học, tài liệu giới thiệu ý nghĩa của các khái niệm toán học.

Ví dụ: ý nghĩa của công thức tăng trưởng mũ trong bài toán tính lãi suất và dự báo dân số thế giới; ý nghĩa của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong một số bài toán kinh tế;…